[B] Teoría intuitiva de los conjuntos - Paul R. Halmos

Este es un pequeño libro de tan solo 147 páginas, dedicado enteramente a los elementos de la teoría de conjuntos tomando un enfoque axiomático. Es un clásico que todo científico usuario de las matemáticas debería leer, ya que nos da un panorama general de lo que realmente es la teoría de conjuntos para un matemático, sin usar maquinaria pesada.

   No es un libro para novatos, su lectura solo será fructífera si se tienen nociones  elementales de conjuntos (lo que encontraríamos al menos en un libro de álgebra de ingeniería), ya que no contiene muchos ejemplos ilustrativos (que seguramente el autor espera que haga el lector) y mucho menos una lista de ejercicios que refuercen los temas, se dedica enteramente a desarrollar la teoría.

Contiene 25 capítulos que enlistamos a continuación:

1. El axioma de extensión
2. El axioma de la especificación
3. Parejas no ordenadas
4. Uniones e intersecciones
5. Complementos y potencias
6. Parejas ordenadas
7. Relaciones
8. Funciones
9. Familias
10. Funciones inversas y compuestas
11. Números
12. Los axiomas de Peano
13. Aritmética
14. Orden
15. El axioma de elección
16. Lema de Zorn
17. El buen orden
18. Inducción transfinita
19. Números ordinales
20. Conjunto de números ordinales
21. Aritmética ordinal
22. El teorema de Schröder-Bernstein
23. Conjuntos contables
24. Aritmética cardinal
25. Números cardinales

Los primeros 15 capítulos podrían considerarse suficientes para aquellos que no se dedican enteramente al campo de las matemáticas o para un curso de álgebra superior.

   Su lectura debe ser lenta y detallada, ya que contiene detalles muy sutiles que no son tan sencillos de comprender mientras uno lee y reflexiona simultáneamente. Uno de estos ejemplos es la existencia de la "función inducida", dada una función f : A→B se le conoce como "función inducida" a la función      F : P(A)→P(B) tal que F(U) = f (U).

    Otro ejemplo se muestra en el capítulo del axioma de elección, el cual Halmos establece desde el concepto de producto cartesiano de una familia no vacía de conjuntos no vacíos, a través de una discusión de la indexación de la familia construye la función de elección del axioma en su versión más conocida. Sin embargo, esta versión es muy útil en campos como la topología, al momento de probar que el teorema de Tychonoff implica el axioma de elección, llegando al axioma de elección en su versión de productos.

   Un punto muy atractivo del libro de Halmos es la construcción de los números naturales y sus operaciones a partir de la teoría de conjuntos, lo que hace que los axiomas de Peano puedan considerarse como proposiciones que se siguen de su construcción.

    El texto en español dejó de imprimirse hace años , la novena impresión (de las últimas) es de 1976 y fue publicada por C.E.C.S.A. aunque aún puede conseguirse en físico en grupos de facebook o en puestos de libros usados cerca de facultades. Su precio máximo en estos sitios, actualmente, es de 200 pesos mexicanos, poco menos de 10 dólares, un precio bastante bajo para su calibre, un precio comparable con editoriales muy económicas como Dover.